1、设 是有理数， 是无理数. 求证： 和 都是无理数；当 时， 和 也都是无理数.

解：

此题可使用反证法进行证明.

假定 为有理数，则 ，其中 .

因为 为有理数，则 ，其中 .

由此可得 .

这与 为无理数的前提相矛盾，所以原假设不成立， 不为有理数.

假定 为有理数，则 ，其中 .

因为 为有理数，则 ，其中 .

由此可得 .

这与 为无理数的前提相矛盾，所以原假设不成立， 不为有理数.

假定 为有理数，则 ，其中 .

因为 为有理数且 ，则 ，其中 .

由此可得 .

这与 为无理数的前提相矛盾，所以原假设不成立， 不为有理数.

假定 为有理数，则 ，其中 .

因为 为有理数且 ，则 ，其中 .

由此可得 .

这与 为无理数的前提相矛盾，所以原假设不成立， 不为有理数.

□

2、求证：两个不同的有理数之间存在有理数.

解：

设 满足 ，则可得不等式 .

令 ，则 .

由此可得，对于任何不相同的有理数 ，都必然存在有理数 ，满足 .

□

3、求证：， 以及 都是无理数.

解：

假定 为有理数，则存在 使得 ，且 无公约数.

由 的定义可知 . 则可得 ，因此 为偶数.

因为 为偶数，则 必为偶数. 由此可得 也必为偶数.

因此 也为偶数，其与 至少存在一个公约数 ，这与原假设矛盾.

所以 不为有理数.

假定 为有理数，则存在 使得 ，且 无公约数.

由 的定义可知 . 则可得 ，因此 能被 整除.

因为 能被 整除，则 . 由此可得 .

因此 也能被 整除，其与 至少存在一个公约数 ，这与原假设矛盾.

所以 不为有理数.

假定 为有理数，则存在 使得 ，且 无公约数.

则

通过反证法易得 为无理数，由问题 1 的结论易得 也为无理数.

这与 为有理数的假定相矛盾. 所以 不为有理数.

□

4、把下列循环小数表示为分数：

解：

令 ，则：

令 ，则：

令 ，则：

□

5、设 都是有理数. 求证：

（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 .

解：

（1）因为 为有理数，按照定义 ，其中 . 由此可得：

由问题 1, 3 的结论可知 为无理数，无理数和任何不为 的有理数相乘均为无理数.

则可知 为有理数时，，因此 .

（2）证明略

□

6、设实数 都有相同的符号，且都大于 . 证明：

解：

当 时，原不等式为 ，成立。

当 时，原不等式为 ，亦成立。

假设当 时原不等式成立.

因为 ，则可得当 时存在下列不等式：

显然可得：

因为所有的 均为相同符号，则可得不等式：

故 时，原不等式成立，由此可得原不等式对 一定成立.

□

7、设 是实数，且 . 证明：

解：

因为 ，可知 .

由此可得 .

由题设可得：

对于 可得：

因为 ，所以 ，所以 成立.

对于 可得：

因为 ，所以 ，所以 成立.

所以题设不等式成立.

□