数学分析讲义（第一册）习题答案 - 1.1 实数

1、设是有理数，是无理数. 求证：和都是无理数；当时，和也都是无理数.

解：

此题可使用反证法进行证明.
假定为有理数，则，其中 .
因为为有理数，则，其中 .
由此可得 .
这与为无理数的前提相矛盾，所以原假设不成立，不为有理数.
假定为有理数，则，其中 .
因为为有理数，则，其中 .
由此可得 .
这与为无理数的前提相矛盾，所以原假设不成立，不为有理数.
假定为有理数，则，其中 .
因为为有理数且，则，其中 .
由此可得 .
这与为无理数的前提相矛盾，所以原假设不成立，不为有理数.
假定为有理数，则，其中 .
因为为有理数且，则，其中 .
由此可得 .
这与为无理数的前提相矛盾，所以原假设不成立，不为有理数.

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2、求证：两个不同的有理数之间存在有理数.

解：

设满足，则可得不等式 .
令，则 .
由此可得，对于任何不相同的有理数，都必然存在有理数，满足 .

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3、求证：，以及都是无理数.

解：

假定为有理数，则存在使得，且无公约数.
由的定义可知 . 则可得，因此为偶数.
因为为偶数，则必为偶数. 由此可得也必为偶数.
因此也为偶数，其与至少存在一个公约数，这与原假设矛盾.
所以不为有理数.
假定为有理数，则存在使得，且无公约数.
由的定义可知 . 则可得，因此能被整除.
因为能被整除，则 . 由此可得 .
因此也能被整除，其与至少存在一个公约数，这与原假设矛盾.
所以不为有理数.
假定为有理数，则存在使得，且无公约数.
则
通过反证法易得为无理数，由问题 1 的结论易得也为无理数.
这与为有理数的假定相矛盾. 所以不为有理数.

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4、把下列循环小数表示为分数：

解：

令，则：
令，则：
令，则：

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5、设都是有理数. 求证：

（1）若，则；
（2）若，则 .

解：

（1）因为为有理数，按照定义，其中 . 由此可得：
由问题 1, 3 的结论可知为无理数，无理数和任何不为的有理数相乘均为无理数.
则可知为有理数时，，因此 .
（2）证明略

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6、设实数都有相同的符号，且都大于 . 证明：

解：

当时，原不等式为，成立。
当时，原不等式为，亦成立。
假设当时原不等式成立.
因为，则可得当时存在下列不等式：
显然可得：
因为所有的均为相同符号，则可得不等式：
故时，原不等式成立，由此可得原不等式对一定成立.

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7、设是实数，且 . 证明：

解：

因为，可知 .
由此可得 .
由题设可得：
对于可得：
因为，所以，所以成立.
对于可得：
因为，所以，所以成立.
所以题设不等式成立.

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